Un trasduttore sismico (Fig. 1) ? caratterizzato dal sistema massa M - molla K - smorzatore C, da un contenitore protettivo e da un opportuno trasduttore del segnale in uscita.

Figura 1: trasduttore sismico.
Si suppone che la vibrazione abbia la direzione dell?asse y e che sia sinusoidale¹. Il trasduttore ? rigidamente collegato all?elemento di macchina di cui si vuole misurare l?accelerazione. Quest?ultimo in base all?ipotesi fatta vibra con un spostamento rispetto ad un punto fisso esterno D esprimibile nel seguente modo:
in cui y_h ? lo spostamento del contenitore protettivo, e quindi dell?accelerometro nel suo complesso, rispetto ad un punto fisso esterno, A l?ampiezza e ω la pulsazione della forzante impressa. Se y_r ? lo spostamento relativo della massa M si ha che lo spostamento assoluto y_m della massa M si pu? esprimere nel seguente modo:
Se la massa M ? molto grande e la vibrazione ha una bassa frequenza, lo spostamento y_r della massa M avr? un certo ritardo rispetto a quello del moto assoluto. Tale spostamento risulta:in cui φ ? lo sfasamento. Se la frequenza di vibrazione aumenta molto, la massa tender? a restare inerte e ci? sar? tanto pi? vero quanto pi? tale valore sar? grande rispetto alla frequenza propria del trasduttore, la cui pulsazione ? pari a ω_n: il movimento della cassa rispetto alla massa ? proprio quello rispetto ad un punto fisso che si andava cercando. In tal caso lo strumento si comporta come un vibrometro (y_rMax circa uguale ad A), ossia misura l?ampiezza delle oscillazioni. Se invece la frequenza di lavoro, ovvero la frequenza di eccitazione , ? inferiore alla frequenza propria del trasduttore lo spostamento relativo y_r risulta proporzionale all?accelerazione. Per trovare il segnale di uscita y_r rispetto a quello di ingresso y_h basta esplicitare il secondo principio della dinamica per il caso in esame:sostituendo y_m si ha:conoscendo l?espressione di y_h si determina la sua derivata seconda:che sostituita nell?espressione del secondo principio della dinamica fornisce:La soluzione in regime stazionario di tale equazione differenziale del secondo ordine ? la seguente:con: e l?angolo di sfasamento: Graficando tale soluzione (Fig. 2) si ha che quando tende all?infinito ω/ω_n , (y_r)_Max/A tende ad 1 il che conferma quanto asserito precedentemente: quando la frequenza dello strumento ? molto bassa rispetto a quella di eccitazione, la massa M sta praticamente ferma ed esso si comporta come un vibrometro (misura cio? l?ampiezza).Figura 2: rapporto (y_r)_Max/A, in funzione del rapporto delle frequenze..

I vibrometri risultano pertanto strumenti intrinsecamente grandi e ci? ? verificato tanto pi?, quanto pi? ? bassa la frequenza che debbono misurare. Ci? significa che volendo misurare con un vibrometro le caratteristiche di vibrazione di un corpo piccolo e leggero, che vibra a bassa frequenza, l?errore di inserzione che ne risulta sarebbe tale da rendere improponibile la misura stessa. In questi casi, che poi in termini applicativi rappresentano la stragrande maggioranza, ? dunque necessario ricorrere a sistemi alternativi, quali gli accelerometri elettrici, trasduttori cio? in grado di convertire l?accelerazione in ingresso in un segnale in uscita proporzionale all?accelerazione stessa. Tale segnale elettrico, generalmente in tensione, viene quindi trattato attraverso i sistemi di acquisizione ed elaborazione dati: una doppia integrazione dello stesso consentir? la determinazione degli spostamenti.

Quando la frequenza da misurare ? bassa, rispetto a quella propria dello strumento, si ? in presenza ad un accelerometro; la massa M non ? pi? ferma ma si muove con spostamenti che risultano proporzionali alle accelerazioni. Derivando due la volte l?espressione dello spostamento sinusoidale dell?accelerometro rispetto ad un ipotetico punto fisso esterno si ricava: e di conseguenza a meno del seno:in cui A_acc ? l?ampiezza della accelerazione (accelerazione massima). Ricavando A e sostituendola nella soluzione precedentemente scritta si ha: in cui risulta evidente il rapporto tra lo spostamento massimo della massa M rispetto alla cassa e la accelerazione massima della cassa stessa. Il secondo fattore a secondo membro ? il fattore noto, tipico degli strumenti del secondo ordine. Esso ? moltiplicato per l?inverso del quadrato della frequenza propria, costante per ogni strumento. Graficando la funzione (Fig. 3) ora si nota che per ω/ω_n che tende a zero (ossia per frequenze di vibrazione molto piccole rispetto a quella propria dello strumento), il rapporto (y_r)_Max/A_acc tende all?unit?, il che equivale a dire che lo spostamento massimo della massa rispetto alla cassa esterna ? uguale all?ampiezza massima dell?accelerazione. Figura 3: rapporto (y_r)_Max/A_acc, in funzione del rapporto delle frequenze.
Il dominio delle frequenze in cui pu? essere usato l?accelerometro dipende dall?errore dinamico accettabile. A parit? di accelerazione pi? ? elevato ω_n e pi? piccolo ? lo spostamento; ci? significa che intrinsecamente ? molto pi? sensibile il vibrometro dell?accelerometro. Un accelerometro con una grande banda passante deve avere un valore alto della frequenza propria ω_n : ci? si ottiene diminuendo la sua massa M ed aumentando il valore della costante elastica K. Essendo K grande e M piccolo, lo spostamento risultante ? piccolo ? quindi lo strumento ? caratterizzato dall?avere una bassa sensibilit?. Realizzare inoltre un accelerometro con una grande banda passante ? relativamente difficile in quanto, dovendo impiegare una massa molto piccola, non si riesce praticamente ad applicarvi il trasduttore. Il problema si risolve ricorrendo a trasduttori piezoelettrici: con essi ? possibile realizzare accelerometri aventi bassa massa ed elevata rigidezza.

Note:

(1) Il fatto che la vibrazione non ? sinusoidale ? superabile in base al teorema di Fourier. Inoltre forme d?onda complesse possono essere rappresentate tramite una serie di funzioni seno e coseno.